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困擾數學界159年的黎曼猜想被證明,會有什麼意義 | 新京報專欄

原標題:困擾數學界159年的黎曼猜想被證明,會有什麼意義 | 新京報專欄

人們在證明黎曼猜想歷程中的探索,以及這種探索的意義,無論最終能證明與否,都將顯示不朽的價值。

困擾數學界159年的黎曼猜想被證明,會有什麼意義 | 新京報專欄

▲圖片來源:視覺中國

文 | 張田勘

黎曼猜想困擾數學界159年

1859年,德國數學家黎曼發表了《論小於已知數的素數個數》論文。在文章中,黎曼定義了一個函數:黎曼ζ(zeta)函數,並推測,ζ函數會在某些點上取值為零,在這些點中,有些被稱作是非平凡零點,這些非平凡零點都分佈在一條特殊的直線上,這條直線通過實軸上的點(1/2,0)並和虛軸平行,非平凡零點的實數部分(實部)都是1/2。

這個推測也被稱為黎曼猜想,即一種假說。提出一個假說似乎容易,但證明它卻要花費極大的力氣,這個假說困擾了數學界整整159年。

現在,被譽為本世紀最偉大數學家之一、也是菲爾茲獎和阿貝爾獎獲得者的英國數學家邁克爾·阿蒂亞在預印本網站arxiv上公開了他證明黎曼假設(猜想)的預印本,並將在24日的海德堡桂冠論壇上以45分鐘的演講形式展示他的成果。

阿蒂亞能證明黎曼猜想嗎?誰能證明阿蒂亞的證明是正確的?這些問題其實都是數學界的專業問題,需要專業人員來回答。但是,既往的事實和現今的情況都註定了,迄今黎曼猜想還是一個公說公有理、婆說婆有理的無解問題。

100多年來,有不少數學家提出,他們證明了黎曼猜想,但是,也總是有人指出了其中的錯誤。2008年7月2日,美國楊百翰大學的數學家XIAN-JIN LI也是在預印本網站arxiv上發表一篇論文,宣稱證明了黎曼猜想。

但是,法國數學家阿蘭·科納和澳大利亞數學家陶哲軒(均為菲爾茲獎得主),分別在Li證明的第29和20頁發現了錯誤。

然而,也正如哥德巴赫猜想的證明歷程一樣,也有一些證明正在一步步走向問題的核心,並為最終證明黎曼猜想鋪墊階梯。

黎曼猜想認為所有素數都可以表示為一個函數,ζ(s)=0位於一條垂直直線上,ζ函數所有非平凡零點的直線也被稱為臨界線。但要證明這一點卻困難重重,不過1個多世紀以來,也不乏重大發現。

例如,1974年美國數學家列文森證明,至少有34%的非平凡零點位於臨界線上。這是一個比較顯著的成果。而且,現在研究人員從分析和數值計算兩方面着手,已經證明至少有40%的非平凡零點位於臨界線上。但這也離證明黎曼猜想差得太遠。

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圖片來源:視覺中國

假如黎曼猜想被證明,互聯網安全或受衝擊

現在阿蒂亞宣布能證明黎曼猜想,就必然有其獨到的見解和發現,是與非當然要留給專業人員來解讀和判斷。能否證明黎曼猜想固然非常重要,而且可能還會一直爭論不休。但或許更重要的是,人們在證明黎曼猜想歷程中的探索,以及這種探索的意義,無論最終能證明與否,都將顯示不朽的價值。

具體到黎曼猜想,數學家的解釋是,黎曼猜想與數論中的素數分佈問題有密切關係,早期在證明黎曼猜想的過程中也證明了有關素數分佈的一個重要命題——素數定理。素數定理在被證明之前,本身也是一個有着100多年歷史的重要猜想。

更重要的是,黎曼猜想與其他數學命題之間有着千絲萬縷的聯繫。迄今,已經有1000條以上的數學命題是建立在黎曼猜想基礎之上,如果黎曼猜想被證明,則1000多條數學命題可以升級為定理,就像最基本的勾股定理一樣;反之,如果黎曼猜想未被證明或證偽,那1000多條數學命題也可能全部是虛假。

證明黎曼猜想對其他學科具有重要的實用意義,如計算機和網絡、物理學,甚至生物神經網絡和人工智能。現在,最現實的意義是,如果黎曼猜想被證明,互聯網和金融世界的安全,要麼遭到毀滅,要麼升級和找到更為安全的密鑰。

黎曼在1859年提出黎曼猜想就是想解決素數之秘。現在,人們還沒有發現素數的規律,因此素數被廣泛應用在密碼學上,以它作密鑰,如果想破解,必須要進行大量運算,即使用最快的電子計算機,也會因求素數的過程時間太長而失去破解的意義。

現在,各大銀行、金融機構、計算機公司,甚至軍事機構、國家安全部門、保密機構、政府檔案等都採用RSA公鑰加密算法,這是基於一個簡單的素數事實,將兩個大質數相乘十分容易,但想要對其乘積進行因式分解卻極其困難,因此可以將乘積公開作為加密密鑰。

那麼,黎曼猜想得到證實,基於大素數分解的非對稱加密算法是否會走到盡頭呢,公鑰加密是否還能保密,從而影響金融、網絡和國家安全呢?

不幸的是,還是兩種相對的觀點,一種認為公鑰加密不會受到影響,即便受到影響,也會從黎曼猜想的證明找到新的安全保密方法;另一種則認為公鑰加密將會被淘汰,信息時代也將步入泄密的不安全時代。

顯然,向其他學科滲透和應用於多學科,就是黎曼猜想的最大的現實意義。

□張田勘(學者)

編輯:李冰冰 校對:郭利琴

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